Analysis [Tenrece Tao] Chapter 2

2021-09-30

自然数

公理2.1 是一个自然数。

公理2.2 若是自然数，则也是自然数。

定义2.1.3 定义是数，是数，是数等等。

公理2.3 不是任何自然数的后继，即对于每个自然数,都有。

公理2.4 不同的自然数必有不同的后继者。

公理2.5(数学归纳原理) 设是关于自然数的一个性质．假设是真的，并假设只要是真的，则也是真的．那么对于每个自然数,都是真的。

公理2.1~2.5就是关于自然数的所谓的Peano公理。这些公理是非常可信的.因此我们作出
假设2.6(非正式的)存在一个数系，称其元素为自然数，公理2.1~2.5对于此数系成立。

定义2.2.1(自然数的加法) 设是自然数，为使加上零，我们定义。现归纳的假定已定义好如何使加上。那么把加于则定义为。

引理2.2.2 对于任何自然数， $＋$ 。

引理2.2.3 对于任何自然数和,。

命题2.2.4(加法是交换的) 对于任何自然数和，。

命题2.2.5(加法是结合的）对于任何自然数，，，。

命题2.2.6(消去律) 设，，是自然数，满足，那么我们有。

定义2.2.7(正自然数) 一个自然数叫作是正的，当且仅当它不等于。

推论2.2.9 如果和是自然数，满足，那么且。

定义2.2.11(自然数的排序) 设和是自然数，我们说大于等于，记作或，当且仅当对于某自然数，成立。我们说严格大于，记作或，当且仅当并且。

命题2.2.12(自然数的序的基本性质) 设，，是自然数。那么
(a)(序是自反的) 。
(b)(序是传递的) 若且，则。
(c)(序是反对称的) 若且，则。
(d)(加法保序) 当且仅当。
(e) 当且仅当。
(f) 当且仅当对于某正数，。

命题2.2.14(强归纳法原理) 设是一个自然数，而是一个依赖于任意自然数m的性质。设对于每个都有下述蕴舍关系:如果对于一切满足的自然数m’都成立，那么也成立(特别地,这意味着成立，因为在的情况下，假定的条件是空的)，那么，我们可以断定对于一切自然数都成立。

定义2.3.1(自然数的乘法) 设是自然数。为把乘到上，我们定义。设已定义了如何把乘到上，那么归纳地，我们定义把乘到上是。

引理2.3.2(乘法是交换的）设，是自然数，那么。

引理2.3.3(正自然数没有零因子) 设，是自然数。那么当且仅当，至少有一个等于零。特别地，若和都是正的，则也是正的。

命题2.3.4(分配律) 对于任何自然数， $，都有$ 以及。

命题 2.3.5(乘法是结合的) 对于任何自然数，，，我们有。

命题2.3.6(乘法保序) 若，是自然数，满足，且是正的，则。

推论2.3.7(消去律) 设，，是自然数，满足而且不是零，那么。

命题2.3.9(欧几里得算法) 设是自然数且设是正数，那么存在自然数，，使得且。
注2.3.10 换句话说，我们可以用一个正数去除一个自然数而得到商(它是另一个自然数)和余数(它小于)。这个算法标志着数论的开端,数论是一个优美而重要的课题，但它超出了本书的范围。

定义2.3.11(自然数的指数运算) 设是自然数，为把升到次幂，我们定义。现递归地假定已对自然数定义好，那么我们定义。